Ib qho Apollonian Gasket yog ib hom duab uas puas ntsoog uas tau tsim los ntawm kev sib sau ua ib lub voj voos uas tsis muaj nyob hauv ib lub voj voog loj. Txhua lub voj voos hauv Apollonian Gasket yog tangent rau cov voj voos uas nyob ib sab - hauv lwm lo lus, cov voj nyob hauv Apollonian Gasket ua kev sib cuag ntawm cov ntsiab lus me me. Lub npe rau Greek tus lej lej Apollonius ntawm Perga, hom fractal no tuaj yeem rub tawm (ntawm tes lossis los ntawm khoos phis tawj) mus rau qhov tsim nyog ntawm qhov nyuaj, tsim cov duab zoo nkauj, zoo nkauj. Saib Kauj Ruam 1 hauv qab no kom pib.
Cov kauj ruam
Ntu 1 ntawm 2: Nkag Siab Lub Ntsiab Cai
Yuav kom pom meej meej, yog tias koj xav tau yooj yim hauv kev kos duab Apollonian Gasket, nws tsis yog qhov tseem ceeb los tshawb fawb cov lej hauv qab fractal. Txawm li cas los xij, yog tias koj xav tau kev nkag siab tob dua ntawm Apollonian Gaskets, nws yog ib qho tseem ceeb kom nkag siab cov ntsiab lus ntawm ntau lub ntsiab lus peb yuav siv thaum tham txog lawv.
Kauj Ruam 1. Txhais cov ntsiab lus tseem ceeb
Cov ntsiab lus hauv qab no tau siv hauv cov lus qhia hauv qab no:
- Apollonian Gasket: Ib ntawm ob peb lub npe rau hom fractal uas tsim los ntawm cov kab sib txuas ua ke hauv ib lub voj voog loj thiab tangent rau txhua tus neeg nyob ze. Cov no tseem hu ua "Soddy Circles" lossis "Kissing Circles".
- Lub vojvoog ntawm lub voj voog: Qhov deb ntawm qhov chaw nruab nrab ntawm lub voj voog mus rau nws ntug. Feem ntau muab qhov sib txawv r.
- Kev nkhaus ntawm lub voj voog: Qhov zoo lossis tsis zoo thim rov qab ntawm lub vojvoog, lossis ± 1/r. Curvature yog qhov zoo thaum cuam tshuam nrog sab nrauv ntawm lub voj voog thiab tsis zoo rau sab hauv nkhaus.
- Tangent: Ib lo lus siv rau kab, dav hlau, thiab cov duab uas sib tshuam ntawm ib qho me me tsis kawg. Hauv Apollonian Gaskets, qhov no hais txog qhov tseeb tias txhua lub vajvoog kov txhua lub vojvoog nyob ze ntawm ib qho nkaus xwb. Nco ntsoov tias tsis muaj kev sib tshuam - cov duab tangent tsis sib tshooj.
Kauj Ruam 2. Nkag Siab Descartes's Theorem
Descartes's Theorem yog tus qauv uas muaj txiaj ntsig zoo rau kev suav qhov loj ntawm lub voj voog hauv Apollonian Gasket. Yog tias peb txheeb xyuas qhov nkhaus (1/r) ntawm peb lub voj voos raws li a, b, thiab c, feem, Theorem hais tias qhov nkhaus ntawm lub voj voog (lossis cov voj voog) tangent rau tag nrho peb, uas peb yuav txhais raws li d, yog: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Rau peb lub hom phiaj, peb feem ntau tsuas yog siv cov lus teb uas peb tau txais los ntawm kev sau ib qho ntxiv rau pem hauv ntej ntawm cov hauv paus plaub fab (hauv lwm lo lus, … + 2 (sqrt (…)). daim ntawv ntawm qhov kev ua zauv muaj nws siv hauv lwm cov haujlwm muaj feem cuam tshuam
Ntu 2 ntawm 2: Txhim Kho Apollonian Gasket
Apollonian Gaskets siv daim ntawv ntawm kev zoo nkauj fractal ntawm cov voj voos. Kev ua lej, Apollonian Gaskets muaj qhov nyuaj tsis paub kawg, tab sis, txawm tias koj siv lub khoos phis tawj kos duab lossis cov cuab yeej kos duab ib txwm muaj, koj yuav kawg mus txog lub ntsiab lus uas nws tsis tuaj yeem kos lub voj voos me dua. Nco ntsoov tias qhov tseeb dua koj kos koj lub voj voos, qhov ntau koj yuav muaj peev xwm haum koj li Gasket.
Kauj Ruam 1. Sau koj cov cuab yeej kos duab digital lossis analog
Hauv cov theem hauv qab no, peb yuav ua peb tus kheej yooj yim Apollonian Gasket. Nws muaj peev xwm kos Apollonian Gaskets los ntawm txhais tes lossis hauv computer. Hauv ob qho xwm txheej twg, koj yuav xav kom muaj peev xwm kos tau zoo ib puag ncig. Qhov no tseem ceeb heev. Txij li txhua lub voj voos nyob hauv Apollonian Gasket yog qhov zoo tshaj plaws rau lub voj voog nyob ib sab ntawm nws, cov voj voog uas txawm tias me ntsis tsis zoo tuaj yeem "pov tseg" koj cov khoom kawg.
- Yog tias kos lub Gasket ntawm lub khoos phis tawj, koj yuav xav tau ib txoj haujlwm uas tso cai rau koj yooj yim kos cov voj voog ntawm lub vojvoog ruaj khov los ntawm lub hauv paus. Gfig, kev kos duab kos duab txuas ntxiv rau qhov kho duab dawb hloov kho GIMP, tuaj yeem siv tau, ib yam tuaj yeem muaj ntau yam ntawm lwm cov phiaj xwm kos duab (saib ntu cov ntaub ntawv rau cov kab ntawv txuas). Koj kuj tseem yuav xav tau daim ntawv thov lub laij lej thiab ib lo lus txheej txheem txheej txheem lossis ntawv sau lub cev rau kev sau ntawv ntawm curvatures thiab radii.
- Txhawm rau kos lub Gasket los ntawm txhais tes, koj yuav xav tau lub laij lej (tshawb fawb lossis teeb duab pom zoo), xaum, compass, tus pas ntsuas (tshwj xeeb tshaj yog teev nrog millimeter markings, daim ntawv ntawv, thiab ntawv sau rau kev sau ntawv.
Kauj Ruam 2. Pib nrog ib lub voj voog loj
Koj thawj txoj haujlwm yog ib qho yooj yim - tsuas yog kos ib qho loj, zoo nkauj puag ncig. Lub vojvoog loj dua, qhov nyuaj koj lub Gasket tuaj yeem yog, yog li sim ua lub voj voog loj li koj daim ntawv tso cai lossis loj npaum li koj tuaj yeem pom yooj yim hauv ib lub qhov rai ntawm koj qhov kev kos duab.
Kauj Ruam 3. Tsim lub voj voos me me nyob rau hauv qhov qub, tangent rau ib sab
Tom ntej no, kos lwm lub voj voog sab hauv thawj qhov uas me dua li qhov qub, tab sis tseem haum loj. Qhov loj me ntawm lub voj voog thib ob yog nyob ntawm koj - tsis muaj qhov loj me. Txawm li cas los xij, rau peb lub hom phiaj, cia peb kos peb lub voj voog thib ob kom nws mus txog ib nrab ntawm peb lub voj voog loj. Hauv lwm lo lus, cia peb kos peb lub voj voog thib ob kom nws lub hauv paus ntsiab lus yog qhov nruab nrab ntawm lub voj voos loj.
Nco ntsoov tias hauv Apollonian Gaskets, txhua lub vojvoog uas kov yog tangent rau ib leeg. Yog tias koj siv lub ntsuas ntsuas los kos koj lub voj voos los ntawm txhais tes, rov tsim cov txiaj ntsig no los ntawm kev muab lub ntsej muag ntse ntawm qhov ntsuas ntawm qhov nruab nrab ntawm lub voj voos loj sab nrauv, kho koj tus xaum xaum kom nws tsuas yog kov lub ntug ntawm lub voj voog loj, tom qab kos koj lub voj voog sab hauv me
Kauj Ruam 4. Kos ib lub vojvoog uas zoo ib yam "hla ntawm" qhov me me hauv lub voj voog
Tom ntej no, cia peb kos lwm lub voj voog hla ntawm peb thawj qhov. Lub voj voos no yuav tsum yog tangent rau ob lub voj voos loj thiab sab hauv me, uas txhais tau tias koj ob lub voj voos sab hauv yuav kov ntawm qhov nruab nrab qhov tseeb ntawm lub voj voog loj.
Kauj Ruam 5. Thov Descartes's Theorem kom pom qhov loj ntawm koj lub voj voog tom ntej
Wb nres kos ib pliag. Tam sim no peb muaj peb lub voj voos nyob hauv Peb Cov Gasket, peb tuaj yeem siv Descartes's Theorem kom pom lub vojvoog ntawm lub voj voog tom ntej peb yuav kos. Nco ntsoov tias Descartes's Theorem yog d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), qhov twg a, b, thiab c yog qhov nkhaus ntawm koj peb lub vojvoog tangent thiab d yog qhov nkhaus ntawm lub voj voos tangent rau tag nrho peb. Yog li, txhawm rau nrhiav lub vojvoog ntawm peb lub voj voos tom ntej, cia nrhiav qhov nkhaus ntawm txhua lub voj voos peb muaj kom deb li deb kom peb tuaj yeem pom qhov nkhaus ntawm lub voj voog tom ntej, tom qab ntawd hloov qhov no mus rau nws lub vojvoog.
-
Cia peb txhais lub vojvoog ntawm peb lub voj voog sab nraud li
Kauj ruam 1.. Vim tias lwm lub voj voos nyob sab hauv no, peb tab tom cuam tshuam nrog nws txoj kev nkhaus sab hauv (ntau dua li nws txoj kab nkhaus sab nrauv), thiab, yog li ntawd, peb paub nws qhov nkhaus tsis zoo. -1/r = -1/1 = -1. Lub vojvoog loj qhov nkhaus yog - 1.
-
Cov voj voos me me yog ib nrab loj li lub voj voog loj, lossis, ua lwm yam, 1/2. Txij li cov voj voos no tau sib kov thiab lub voj voog loj nrog lawv sab nraud, peb tab tom cuam tshuam nrog lawv txoj kev nkhaus sab nrauv, yog li lawv txoj kab nkhaus yog qhov zoo. 1/(1/2) = 2. Cov voj me me qhov nkhaus yog ob qho tib si
Kauj ruam 2..
-
Tam sim no, peb paub tias a = -1, b = 2, thiab c = 2 rau peb Descartes's Theorem equation. Wb daws rau d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 2 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 2 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Qhov nkhaus ntawm peb lub voj voog tom ntej yog
Kauj ruam 3.. Txij li 3 = 1/r, lub vojvoog ntawm peb lub voj voog tom ntej yog 1/3.
Kauj Ruam 6. Tsim koj txheej txheej tom ntej
Siv tus nqi hluav taws xob uas koj nyuam qhuav pom los kos koj ob lub voj voog tom ntej. Nco ntsoov tias cov no yuav cuam tshuam rau cov voj voog uas nws nkhaus koj tau siv rau a, b, thiab c hauv Descartes's Theorem. Hauv lwm lo lus, lawv yuav cuam tshuam rau ob qho tib si qub thiab thib ob. Txhawm rau cov voj voos no kom haum rau tag nrho peb lub voj voog, koj yuav tsum kos lawv hauv qhov chaw qhib nyob rau sab saum toj thiab hauv qab ntawm thaj chaw hauv koj lub voj voog qub.
Nco ntsoov tias cov voj voog no yuav sib npaug li 1/3. Ntsuas 1/3 rov qab los ntawm ntug ntawm lub voj voog sab nraud, tom qab ntawd kos koj lub voj voog tshiab. Nws yuav tsum yog tangent rau tag nrho peb ntawm ib puag ncig
Kauj Ruam 7. Nqa mus rau qhov zam no kom txuas ntxiv mus ntxiv
Vim tias lawv yog fractals, Apollonian Gaskets yog qhov nyuaj kawg. Qhov no txhais tau tias koj tuaj yeem ntxiv cov voj voog me thiab me me rau hauv koj lub siab cov ntsiab lus. Koj tau txwv tsuas yog qhov ua tau zoo ntawm koj cov cuab yeej (lossis, yog tias koj siv lub khoos phis tawj, lub peev xwm ntawm koj qhov kev kos duab rau "zoom in"). Txhua lub voj voog, tsis hais qhov me me, yuav tsum yog tangent rau peb lwm lub voj voog. Txhawm rau kos txhua lub voj voog tom ntej hauv koj lub Gasket, ntsaws qhov nkhaus ntawm peb lub voj voos nws yuav tangent rau hauv Descartes's Theorem. Tom qab ntawd, siv koj cov lus teb (uas yuav yog lub vojvoog ntawm koj lub voj voog tshiab) los kos koj lub voj voog tshiab kom raug.
- Nco ntsoov tias Gasket peb tau xaiv los kos yog sib npaug, yog li lub vojvoog ntawm ib lub vojvoog zoo ib yam li lub voj voos sib xws "hla ntawm nws". Txawm li cas los xij, paub tias tsis yog txhua Apollonian Gasket yog sib npaug.
-
Wb daws ib qho piv txwv ntxiv. Cia peb hais tias, tom qab kos peb lub voj voog kawg, tam sim no peb xav kos lub voj voog uas muaj tangent rau peb txheej thib peb, peb txheej thib ob, thiab peb lub voj voos loj loj. Qhov nkhaus ntawm cov voj voos no yog 3, 2, thiab -1, feem. Wb txuas cov lej no rau hauv Descartes's Theorem, teeb a = -1, b = 2, thiab c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1)) cov
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Peb muaj ob lo lus teb! Txawm li cas los xij, vim peb paub tias peb lub voj voos tshiab yuav me dua li ib puag ncig nws yog tangent rau, tsuas yog qhov nkhaus ntawm
Kauj ruam 6. (thiab yog li ntawd lub vojvoog ntawm 1/6) ua rau kev nkag siab.
- Peb lwm cov lus teb, 2, qhov tseeb yog hais txog lub voj voos hypothetical ntawm lwm sab ntawm qhov tangent point ntawm peb lub voj thib ob thiab thib peb. Lub voj voog no yog tangent rau ob lub voj voog no thiab rau lub voj voog loj sab nraud, tab sis nws yuav cuam tshuam cov voj peb twb tau kos lawm, yog li peb tuaj yeem tsis quav ntsej nws.
Kauj Ruam 8. Rau qhov nyuaj, sim ua qhov tsis sib thooj Apollonian Gasket los ntawm kev hloov qhov loj ntawm koj lub voj voog thib ob
Txhua Apollonian Gaskets pib zoo ib yam - nrog lub voj voos sab nrauv loj uas ua raws li ntug ntawm pob txha. Txawm li cas los xij, tsis muaj laj thawj uas koj lub voj voog thib ob yuav tsum muaj 1/2 lub vojvoog ntawm thawj zaug - peb tsuas yog xaiv ua qhov no saum toj no vim nws yooj yim thiab nkag siab yooj yim. Kev lom zem, sim pib Gasket tshiab nrog lub voj thib ob ntawm qhov sib txawv me me - qhov no yuav ua rau muaj txoj hauv kev zoo siab tshiab ntawm kev tshawb nrhiav.
